최근 중학교 3학년 수학과외를 하고 있습니다.

해당 내용을 보니 제가 중학교 3학년 때

이런 것을 배웠나 할 정도였습니다.

특히, 여러 공식이 나옵니다.

직사각형, 정사각형 대각선의 길이

정삼각형 높이와 넓이

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

직육면체의 대각선의 길이

정사면체의 높이와 부피

원뿔의 높이와 부피 등...

문제 풀이를 할 때 그 공식이 쓰면 빠르게 계산할 수 있습니다.

그래서 학생에게 이런 공식을 외우도록 합니다.

하지만 정작 저는 공식 대부분이 기억나지 않았습니다.

처음 보는 듯한 느낌이 들었습니다.

그래서 단순히 외우라고 해야할지

아니면 제가 공부를 해서 왜 그런 공식이 나오는지 유도를 해야할지 고민했습니다.

그런데 너무 쉽게 설명이 되었습니다.

정의를 생각하니 그러한 공식이 나오는 이유를 알았습니다.

지금도 해당 공식을 외우고 있지 않습니다.

하지만 어떻게 공식을 만드는지 알고 있으니 언제라도 풀면 됩니다.

물론 학교 시험처럼 스피드(?)를 필요로 하는 경우에는

좋은 점수를 받을 수 없기에

학생에게 어떻게 공식을 만드는지도 중요하지만,

공식 자체를 외우도록 유도했습니다.

다만 몇 년 지나면 나처럼 잊을수도 있기에

어떻게 공식을 만드는지도 게을리 하지 말라고 했습니다.

최근 고등학교 때 배운 수학을 다시 보고 있습니다.

처음 볼 때는 대충 이런 공식이 있다고 넘어갔는데,

과외를 하면서 느낀 것을 바탕으로

왜 공식이 그렇게 유도되었는가 하나하나 짚어갔습니다.

그러자 생각외로 외우기가 편했습니다.

그리고 며칠이 지나 공식을 잊어먹어도

시간이 걸리지만 해당 공식을 유도할 수 있었습니다.

여기서 가장 중요한 것은 정의였습니다.

중점이 원점인 원의 방정식은 

x² + y² = r²

입니다.

이런 식이 나오는 이유는 원의 정의가

평면상의 어떤 점에서 거리가 일정한 점들의 집합이기 때문입니다.

어떤 점을 원점(0, 0)으로 잡으면

두 점 사이의 거리 공식을 이용하면

(x² + y²)^½ = r - ('^'은 승(Exponentiation)을 뜻합니다.)

위의 식에서 양변을 제곱하면 원의 방정식이 나옵니다.

평면 위에서 한 정점과

이 점을 지나지 않는 한 정직선에 이르는 거리가 같은 점의 자취

이것이 '포물선'의 정의입니다.

초점이 (p, 0), x=-p를 준선으로 하는 포물선의 방정식은

y² = 4px

평면 위의 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점의 자취

이것이 '타원'의 정의입니다.

두 정점 (k, 0), (-k, 0)에서의 거리의 합이 2a인 타원의 방정식은

x² / a² + y² / b² = 1 (a > b > 0, k² = a² - b²)

평면 위의 두 정점에서의 거리의 차가 일정한 점의 자취

이것이 '쌍곡선'의 정의입니다.

두 정점 (k, 0), (-k, 0)에서의 거리의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식은

x² / a² - y² / b² = 1 (a > b > 0, k² = a² + b²)

위의 이차곡선 모두 정의에 맞춰 거리공식을 쓰면 해당 방정식이 나옵니다.

이것을 잊은 것입니다.

그래서 공식을 봐도 왜 저런 형태로 나오는지,

타원과 쌍곡선에서 왜 k가 저런 식으로 나오는지 이해가 되지 않았습니다.

귀차니즘에 그냥 외웠더니 금방 잊어먹어서

후에 문제를 풀 때 고생했습니다.

솔직한 얘기로 지금 이 글을 적고나서 다음날이면

타원과 쌍곡선의 k를 구하는 방법이 기억나지 않을것입니다.

하지만 이제 어떻게 구하는지 알았으니 정석 책을 뒤지지 않아도 되겠지요.^^

과외를 통해 제가 배우는군요.^^

이거 제가 과외비를 다시 내야합니까??^^;;

참조

개념원리 문제은행 9나

실력 수학Ⅱ의 정석

http://ko.wikipedia.org

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