최근 복학 준비를 하면서 지금까지 배운 수학 과목을 다시 보고있습니다.
오늘 대학교 1학년 때 배운 미적분학을 보고 있습니다.
내가 이런 것을 어떻게 공부했나 싶더군요.;;
그러다 재미있는 문제 하나를 발견하였습니다.
5. (Gabirel의 경적기의 역설)
곡선 y=1/x을 [1, ∞)상에서 x축에 관하여 회전할 때
Gabriel의 경적기라고 하는 곡면이 생긴다.
이때 이 경적기의 체적 v는 유한하고
표면적은 무한함을 보이고
이 결과로서 유한향의 페인트로서 이 경적기를 채울 수 있으나
이 경적기의 내부면을 페인트하기에는
이 양으로는 충분치 않다고 말할 수 있다.
이 역설에 대하여 논평하여라.
- 개정 미적분학(수학과 교재편찬위원회)
일단 해당 물체의 부피와 표면적을 구했습니다.
[a, b]에서 항상 f(x)≥0일 때 평면도형 f(x)를
x축을 회전축으로 하여 1회전 시켜서 얻어지는
공간도형의 체적(부피)을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
x축을 회전축으로 하여 1회전 시켰기에
공간도형의 단면 하나는 원이 됩니다.
그럼 y=0인 곳이 원의 중점이 되고,
반지름은 f(x)가 됩니다.
따라서 단면의 넓이는 π{f(x)}²이 됩니다.
그것을 구간 [a, b]를 움직여야 하니 적분을 하면 부피를 구할 수 있습니다.
[a, b]에서 f'(x)가 연속일 때
곡선 y=f(x)의 a≤x≤b의 부분의 길이 s는 다음과 같습니다.
이는 두 점 사이의 공식에서 식을 변형시키면 기울기의 형태가 나옵니다.
평균값의 정리에 따라 해당 기울기와 같은 f`(c)인 c가 존재합니다.
f`(x)는 연속이기에 두 점 사이의 간격을 줄여서 합치면
정적분의 정의에 의하여 위의 식이 나옵니다.
[a, b]에서 항상 f(x)≥0일 때 평면도형 f(x)를
x축을 회전축으로 하여 1회전 시켜서 얻어지는
공간도형의 표면적은 다음과 같습니다.
이는 구간 내를 잘게 쪼개어서 두 점의 길이를 구합니다.
잘게 쪼개었기에 두 점의 기울기가 0에 가까울 것입니다.
그렇다면 이 부분은 밑면의 반지름이 f(x)인 원통의 형태를 취할 것입니다.
이 곳에서의 두 점의 기울기는 루트의 형태이고,
이것이 반지름이 f(x)인 원의 둘레를 따라 돌기에
표면적은 2π{f(x)}{루트 부분}이 됩니다.
이를 구간 [a, b]에서 구해야하기에
위와 같은 식이 나옵니다.
위의 생각이 맞는지 틀리는지 잘 모르겠습니다만,
전 저렇게 생각하고 외웠습니다.
저렇게 공식이 나왔으니 이제 대입만 하면 됩니다.
먼저 부피입니다.
부피는 π라는 유한수가 나왔습니다.
그럼 이제 표면적입니다.
이건 무한대가 나오네요.
정말 유한의 페인트로 채울 수 있으나 표면적은 칠할 수 없습니다.
신기하네요.
하지만 이것이 어떤 식으로 설명되어야 할 역설인지 잘 모르겠습니다.
그래서 인터넷 검색을 해보았습니다.
하지만 'Gabriel 경적기'라는 단어로 검색을 하였으나
아무것도 검색되지 않았습니다.
당황스러워 'Gabriel'이라 검색해보았지만,
사람 이름인지라 양이 너무 많았습니다.
마지막으로 'Gabriel Paradox'로 검색하여서 관련 자료를 찾을 수 있었습니다.
'가브리엘의 호른(악기)'이라고 해야하는건가요??^^
위키피디아에는 왜 이런 일이 발생하는지 설명되어있습니다.
'The paradox arises because the strips of length on the "rings"
being added to give the surface area
are of a lower dimension (1 vs. 2)
than the disks of area being used to find the volume.
As x → ∞:'
저의 허접 해석으로 살펴보아
'이러한 역설이 일어나는 이유는
표면적을 구할 때 쓰이는 링(저는 원이라 생각했습니다.)의 길이가
부피를 구할 때 쓰이는 원반(저는 이 역시 원이라 생각했습니다.)의 넓이보다
차원이 작기 때문이다.'
라고 이해하였습니다.
그러니까 함수가 역수이므로
차원이 높은 넓이가 그보다 낮은 차원인 길이보다
x가 커질수록 더 빨리 수렴되므로
이런 일이 발생한다는 뜻인가요??
잘 모르겠습니다.
PS
대학교재를 보면 'Gabriel의 경적기'라고 되어있습니다.
하지만 '경적기'라는 단어는 사전에 없습니다.
다만 '경음기'를 대신하여 쓰이는 것으로 알고 있습니다.
즉, 'Gabriel's Horn'을 번역하면서
'Horn'을 '경음기'로 하셨군요.
그것이 다시 '경적기'로 바뀐 것이었군요.OTL...
저는 처음에 배울 때 그래프를 그려보니
생긴 모양이 빗살무늬토기처럼 생겨서
경작하는데 쓰이는 원시인의 도구 중 하나로
경적기라는 것이 있는 줄 알았습니다.;;;;;
잘못된 번역 하나가 학생을 순식간에 바보로 만들고 좌절시킵니다.OTL....
참조
개정 미적분학(수학과 교재편찬위원회)
- Newton의 방법(Newton's method) (0)2007/12/18
- 깜짝 퀴즈(surprise quiz)를 치룰 날짜 예상하기 (10)2007/12/01
- 지수에 log가 있으면 거듭제곱 밑과 log의 진수를... (10)2007/11/21
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밸리에서 보고 왔습니다.
처음에 얼핏 보고, 먼가 이상한 내용 아닐가 싶었는데, 실제로 그렇게 되는군요.
물론 부피유한/표면적무한이 아니라,
"페인트"라는 말이 조금 거시기 할 수도 있긴 하지만요 ^^;;
후..죄송합니다. 처음과 끝만 보고 내렸어요.
어지럽네요;;;//너무 오랫만이라..
/호앵/
전에 양자역학의 충격에 대해서 적어주셨던 분이시네요.^^
네.. 저도 페인트에 조금 어리둥절 했지만,
나름 재미있는 표현이 아닌가 생각했습니다.^^
/민트/
저도 사실 잘 모르는 글이 올라오면 그냥 ....만 찍고 있어요.^^
그런데 덧글까지 달아주시니..ㅜㅜ