근의 근사값을 구하는 방법 중 하나로 Newton's method가 있습니다.

방법은 다음과 같습니다.

(출처 : http://nosyu.pe.kr/blog/data/4016670/001.png)

곡선(파란선) y = f(x)에서 f(x) = 0이 되는 근 x를 구하려고 합니다.

먼저 근 가까이에 있는 근사값 x_n을 정합니다.

그럼 좌표 ( x_n , f(x_n) )에서의 접선(빨간선)의 방정식은 다음과 같습니다.

y - f(x_n) = f'(x_n) (x - x_n)

x_n이 x에 가까운 값일 때, 이 접선은 x축과 점 x_{n+1}에서 만납니다.

그럼 위의 접선의 방정식에서 x_{n+1}의 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

다시 x_{n+1}을 x_n이라 생각하고 이어나가면 일반식을 구할 수 있습니다.

(위의 것과 똑같네요.^^;;)

이 방법을 써서 √x(제곱근)과 3√x(세제곱근)의 근사값을 구하면 다음과 같습니다.

(x_n 대신에 a_n을 썼습니다.)

참조

개정 미적분학 - page 87~89

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_method

http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html

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