미분방정식(Differential Equations)을 공부하다가 생긴 궁금증입니다.
linear first order equation에 대해 배우고 있었습니다.
그러다 비디오 강의에서 예제를 푸는 과정을 보고 궁금증이 생겼습니다.
해당 문제를 풀기 위해서는
1. standard linear form인 y' + p(x)y = g(x)으로 만들고
2. integrating factor(적분인자)를 구한 다음(e^∫p(x)dx이죠.)
3. 양변에 적분인자를 곱한 후
4. 적분을 하면 됩니다.
문제는 위와 같습니다.
풀이과정에 따라 standard linear form을 만들기 위해 양변에 x로 나눕니다.
그렇게 해서 만들어진 것이 ①번입니다.
그렇게 풀이를 하여 나온 답이 이것입니다.
하지만 궁금증은 다음과 같습니다.
'x가 0이라는 보장 없이 바로 양변에 나누어도 상관없는건가?'
그래서 책에 있는 예제를 살펴봤습니다.
이와 비슷한 문제가 있습니다.
이 역시 양변에 x²을 나눠서 standard linear form으로 만들었습니다.
하지만 x²가 0이 아니라는 보장이 전혀 없습니다.
답은 이렇게 나오는군요.
만약 x가 0이라 하더라도 기본틀을 맞추기 위해서는 상관이 없다는 뜻인가요?
이에 대해 물어보고 싶지만 영어로 적기에는 한계가..^^;;
뒤에 내용을 배우면서 이 궁금증이 풀리지 않으면
이 내용이 공업수학에 나오니 수강할 때 담당 교수님에게 여쭈어봐야겠습니다.
참조
MIT OCW 'Differential Equations'
ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH BOUNDARY VALUE PROBLEMS - 49쪽
- 근사(Approximation) (0)2008/02/08
- 수학의 아름다움? (10)2008/01/22
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x=0을 직접 대입해보세요. 그러면 y는 어떤 함수라도 다 되거나 (부정, indefinite), 어떤 함수라도 안 될 것입니다 (불능, incompatible). 한 마디로 x=0일 때의 y는 trivial solution이라서 무시를 한 것 같네요. 실제로 위의 예제에서 x=0인 경우에는 y=0, y=모든함수와 같이 되므로 큰 관심이 없는 해이죠.
/object/
x=0이라면 문제 자체를 풀 수 없거나해서 무시하고 나간다는 뜻인가요????
증명이나 기타 풀이를 보면 나눌 때 나누는 값이 0인 경우와 아닌 경우를 생각하는 것을 종종 본터라
여기서는 왜 0인 경우를 얘기하지 않나 생각했습니다.
덧글 고맙습니다.^^
말씀대로 엄밀하게 풀려면 i) x = 0일 때, ii) x != 0 일 때, 이렇게 구해야합니다. 그러나 위에서도 말했듯이 i) 경우는 정말 trivial하지요. 그래서 그냥 무시한 것입니다. 2차 미분방정식 구할 때 보면 x=0, y=0과 같이 매우 trivial한 경우는 다 무시하거든요. x=0인 경우는 보통 관심 밖이기 때문에 무시한다고 보면 됩니다.
그러나 말씀대로 다른 증명 같은 곳에서는 이건 매우 중요할 수 있으니 무시하면 안되지요.
/object/
2차 미분방정식의 경우 x= 0, y = 0이 되는 경우가 있군요.
(trivial은 선형대수학에서 동차(homogeneous)연립일차방정식에서
항상 자명한 해(tirvial solution)를 가진다라고 배운 것이 전부라 그 명확한 의미를 잘 모르겠습니다.ㅜㅜ)
제 답덧글을 읽어주시고 다시 한 번더 달아주시다니..ㅜㅜ
정말 고맙습니다.ㅜㅜ
이걸 보니 1학년때 배운 공학수학이 생각나는군요...OTL
네.. Trivial은 말 그대로 사전적으로 하찮다는 뜻입니다. x=0일 때의 해는 y=0, 모든해, 불능과 같이 매우 자명하기 때문에 고려도 하지 않겠다라는 소리겠죠.
당장에 x^2 y' + xy = sin x, y(1) = 2와 같은 initial value 문제에서는 x = 0이라면 미방자체는 y는 어떤 함수라도 방정식을 다 만족하겠죠. 우리가 그런 답을 원하는 것이 아니니까 그냥 무시하는 것이에요.
/니트/
1학년 때 공학수학...ㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷ
/object/
아.. 그 문제를 보니 그렇네요.^^
그럼 문제를 풀 때 그 얘기까지 같이 하면 점수가 더 높을까요?^^;;;
좋은 답변 계속 적어주셔서 정말 고맙습니다.ㅜㅜ
개인적인 견해를 사족으로 달아보자면, x=0인 경우는 "반드시" 따로 언급해야만 한다고 생각합니다. trivial하기 때문에 고려하지 않아도 된다고 생각하는 건 무척 위험한 경우라고 생각해요. trivial하니까 따로 계산하지 않고, x=0일때 이러이러한 경우가 가능하다, 라고만 언급할 수 있는 것이지, trivial하다고 그것이 방정식의 해가 아닌 것은 아니니까요.
물론 수학 외적인, 특히 공학 관련 부분에서는 trivial한 해는 그다지 중요하지 않기는 하겠습니다만, 수학적으로는 분명히, 어떻게보면 specific한 해보다도 훨씬 더 큰 의미를 가질수도 있다고 생각해요.
밸리타고 와서 글 남기고 갑니다. :)
/Lucypel/
반갑습니다.
반드시 따로 언급을 해야하는군요.
저도 그렇게 생각했습니다만, 해당 교수님이나 책에서는 그런 언급이 없어 궁금했습니다.
(어쩌면 제가 아직 공학적 마인드가 부족한 것인지도...OTL.....)
좋은 덧글 고맙습니다.^^
Lucypel님 말씀처럼 만약 문제에 특별한 이야기가 없고 그냥 저 미분방정식만 주어지고 주관식으로 풀으라고 하면 저는 당연히 i) x = 0, ii) x != 0을 고려해서 적습니다. 이건 기본이지요 :) 다만 공학수학에서 다루는 미방에서는 워낙 트리비얼은 무시하고 넘어가서 이렇게 제대로 언급하지 않은 것 같네요.
일부학교는 1학년 2학기에 공학수학 첫파트 (미방+라플라스+퓨리에) 정도를 다루기도 합니다.
/object/
공학수학은 공학자를 위한 수학이기에 그런가요??;;;
(실용적인 수학?~_~)
일부학교에서는 1학년 2학기에 공학수학을 배우는군요.
(상당히 강한 학교네요.)
전 모르고 1학년 때 공학수학 신청했다가 선배에게 혼난 기억이.....;;;;;
먼저 위의 문제 제기는 사실 아주 좋은 것이에요. 이번에 수능에서 논란이 된 문제 있죠? 이상기체라는 것을 단원자라고 명시하지 않아 벌어진 사건 말입니다. 이상기체라고만 쓰면 당연히 단원자가 아닌 경우도 있고 그럴 경우엔 R 값이 바뀌는데 말이죠. 그것처럼 문제에서 가정은 정말 중요합니다.
수학 문제에서 만약 '수'라는 말이 나왔다면 이 수는 무엇을 가리킬까요? 실수? 아닙니다. 복소수를 가리킵니다. 아무런 제약 조건이 없기 때문에 수의 전체집합인 복소수를 가정하고 문제를 풀어야합니다.
따라서 문제에서 아무런 이야기도 없이 이런 문제가 툭 던져지면 모든 가능성을 다 고려해서 풀어야만 합니다. 그런데 보통은 실수함수다~ 트리비얼은 무시한다~ 이런 조건을 다 주기 때문에 이렇게 기계적으로 풀어버리는 것이지요.
사실 공대에서 배우는 수학은 수학도 아니죠;; 가르치는 교수님들도 일단 이런 것이 있다는 것만 알아두고 나중에 필요할 때 재빨리 찾아서 쓸 수 있을만큼 공부하라고 가르치십니다. 그래서 질보다 양이죠.
예를 들어, 아마 1차 미방 첫 부분을 보다 separation 어쩌고 하는 것이 있죠. y'를 dy/dx로 나누고 dx, dy를 이리저리 변수처럼 곱하고 마구 적분하고 별 짓을 다 하죠. 그런데 이거 증명 하나요? 안합니다. 이걸 증명 다 하려면 해석학을 배워야해요. 그만큼 수학은 파고들어가면 끝이 없죠. 그래서 고교수학이나 공학수학에서는 이런 복잡한 미적분학 기본 증명들은 다 무시하고 당장 응용해서에서 쓸 수 있는 것들만 속성으로 배우는 셈이에요.
수학과가 아니라면 이런 내용들은 근의 공식 배우듯이 스킬만 익히시는 것이 좋습니다 ㅎㅎ
/object/
그러고보니 고등학교 때 수학 선생님이
'고등학교 때 말하는 수는 실수라 생각해라.'라고 하신 말씀이 생각나네요.
질보다 양이군요.OTL....
아.. 저도 그것 증명을 보고 싶었는데 전혀 하지 않아
'후에 배우는건가?'라고 생각했습니다.
하지만 하지 않는군요.;;;
수학과가 아니지만 관심은 많지만 과연 할 수 있을지 모르겠습니다.ㅜㅜ
좋은 덧글 고맙습니다.^^