예전에 수학이 아름답다면서 여러 예를 보여준 책을 봤습니다.
하지만 전 아무리 봐도 내용이 이해가 되지 않았고,
그렇기 때문인지 무엇이 아름답다는건지도 이해되지 않았습니다.
그 중 하나가 바로 이 식이었습니다.
이 식 하나에 자연로그의 밑수인 e, 허수의 unit인 i, 원주율인 π가 모두 들어있기에
이 식은 참으로 아름답다는 얘기를 보았습니다.
하지만 저 식이 어떻게 유도되는지 설명도 없어 그 과정도 궁금하였지만,
'수학의 아름다움은 자주 쓰이는 것 세개가 하나의 식에 있으면 되는건가...'라며
아름답다는 것을 이해하지 못했습니다.
![mitocw18.03lec619feb2003220k[(008455)11-39-19]](http://nosyu.pe.kr/attach/1/XELjRaQ4la.png)
MIT OCW 비디오 강의를 보던 중 COMPLEX NUMBER에 대한 얘기가 나왔습니다.
그러면서 위 식을 얘기하더군요.
또한, 좌항과 우항이 지수법칙과 미분을 들어 같음을 얘기하였습니다.
설명을 마치면서 마지막으로 이런 말을 하였습니다.
'이것이 수학의 아름다움입니다.'
(영어로 얘기했음에도 기억나는 것은 한국어네요.;;;;
아직 영어를 영어 그대로 이해하지 않고 한국어로 이해하는 듯싶습니다.OTL...)
무엇이 수학의 아름다움인지 역시 잘 모르겠지만,
얘기를 더 들어보니 조금 알 듯싶었습니다.
좌항의 'e^ix'와 우항의 'cos x + i sin x'는 보이기에는 다르지만,
여러 성질을 비교하면 둘이 같음을 알 수 있다는 것입니다.
그렇기에 이 쪽에서 저 쪽으로 넘어가서 생각을 할 수 있습니다.
예전에 선형대수학을 공부하다가 생긴 궁금증이 있었습니다.
행렬 A의 전치행렬(transpose of A)를 A^T로 나타내고,
각 원소(element)의 행과 열을 바꿉니다.
그리고 복소행렬 B는 복소전치행렬(conjugate transpose)라 하여 B^*로 나타냅니다.
여기서 B^*는 B^T에 각 원소에 복소켤레(Complex conjugate)를 합니다.
왜 복소켤레를 하는지 알고 싶어 찾아보니 이런 식을 보았습니다.
복소수가 2x2 반대칭행렬이 될 수 있는 것에서 생각을 얻었다고 합니다.
저는 왜 저 둘이 같음을 얘기하는지 알 수 없었습니다.
그래서 교수님께 여기에 대한 얘기를 하였더니 간단히 대답해주셨습니다.
'양변을 제곱해보세요.'
그래서 제곱을 해서 살펴봤습니다.
둘은 똑같더군요.
똑같다고 얘기하니 교수님께서는 '수학에 이런 것이 많습니다.'라고 말씀하셨습니다.
이런 설명을 들었음에도 아직 수학의 아름다움을 잘 느끼지 못하겠습니다.
다만, 저 둘의 연결을 만든 수학자들이 정말 대단하다는 것만 느낄 뿐입니다.
그러면서 어떻게 하면 저 둘을 연결하는 생각을 할 수 있을까 궁금해집니다.^^
하지만 일단 거인의 어깨 위에 올라야 멀리 볼 수 있으니
아직 올라가고 있는 저로서는 부지런히 올라가는 것이 최우선이겠죠.
그럼으로 수학의 아름다움을 느낄 수 있으면 좋겠습니다.^^
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수학에서의 아름다움은 일견 '간결함'과도 통하는 구석이 있더군요. 앞의 예들도 포함해서 말이죠.
일본의 젠 스타일이나 현대미술에서의 미니멀리즘을 생각해 본다면 그 간결성은 자체로도 아름답다고 할수 있을만 하다고 생각합니다. 페르마의 마지막 정리나 아인쉬타인의 상대성이론 공식도 그런 의미에서 가장 아름다운 수식이 아닌가 합니다. 누구나 알수 있을 정도의 간결한 수식이만 우주와 같은 난이도를 품고 있는 그런 거 말이죠.
수학이 아름답다고 느끼는 때는, 완전히 다르다고 생각하는 현상을 동일한 원칙(방정식, 공식)으로 설명될 때이죠. 이런 걸 패턴을 발견한다고 말할 수도 있겠죠.
오일러의 공식에서 이런 연결이 아주 드라마틱하죠. 삼각함수는 삼각형의 변의 비율로 시작하여 얻어지는 갈래입니다. (삼각비 -> 함수의 개념을 집어넣어 삼각함수로 바라봄.) 그리고, 지수함수는 고등학교 과정에서는 극한을 통해 얻어진 특이한 수 e 의 거듭제곱(의 일반화)이죠. 이 두 가지가 별 관계가 없는 게 당연해 보이죠. 그런데, 삼각함수와 지수함수 꼴로 만들어서 함수의 변수에 복소수 (이건 또 아주 다른 수의 확장 (자연수->정수->유리수->실수->복소수)를 넣어 보니까 굉장한 관계가 발견된 거죠. 이걸 발견하고서 느끼는 기쁨이 어땠을까요? 정말 놀랍고 아름답지 않을까요? (자연 속에, 또는 수학에라는 체계에 이런 것이 "숨어" 있었다니!)
밸리에서 왔습니다.
저도 수학의 아름다움 하면 저 식이 먼저 떠올라요. 더 나아가, 하나의 결과를 설명하는 과정이 다양하다는 것이 즐겁습니다. (물론 과정이 달라도 그 결과는 항상 같지요.)
/가고일/
반갑습니다.
간결함. 그것이로군요.
동방 여백의 미라고 불리는 것이 젠 스타일이군요.
처음 알았습니다.^^ㅜㅜ
정보 고맙습니다.
그래서 과학자들이 Theory of everything을 찾는것이군요.^^
/daewonyoon/
반갑습니다..는 아닌 듯....
(많이 뵌 닉네임인 듯...)
아.. 그런 점에서 아름다운 것이군요.
전혀 다른 시작임에도 후에 만나게 되더라.....
어쩌면 제가 아름다움을 몰랐던 이유는 너무 수동적이었기 때문이 아닌가 싶습니다.
'자~ 오늘은 이것을 배울게요~'라는 식으로 수학을 배웠기에
그 모든 것이 어쩌면 '당연한 것'이라 느꼈는지도 모르겠습니다.
(어쩌면 당연하다고 느끼는 것이 아름다울지도....)
/SilverRuin/
반갑습니다.
아.. 그렇게도 되는군요.
하나의 결과를 설명하는 과정이 다양하다.
저도 이번에 논문 하나를 읽었는데 그렇게 설명이 되는 것이 상당히 신기하였습니다.
하나의 것에서 다른 것으로 이어주는 다리를 만드는 일.
볼 때마다 신기합니다.^^
수학에 아름다운 것이 있기도 하는 군요. 저는 전혀 몰랐답니다. ^^
/codebook/
수학자들이 있다고 하니 전 있다고 생각합니다.^^;;;
저도 잘 모르겠습니다.OTL....
어... 저같은 경우엔 죽어라 삽질을 해서 결국 풀어냈을 때의 쾌감(..)이 수학의 아름다움과 즐거움이라고 봅니다만...
아 이건 좀 위험한 발언인가요. ㅋㅋ;;
/아르핀/
아.. 그것도 수학을 할 때 느끼는 쾌감이라고 하더라구요.
그 맛(?) 때문에 수학을 즐기는 사람도 들었습니다.
아르핀님이 그 속에 속하시는 듯...^^