요즘 공학수학을 배우고 있습니다.
저번주에 Second-Order Linear ODEs에 대해 배웠습니다.
교수님께서 설명을 하시다가 한 부분의 예제를 그냥 풀어보라며 넘기셨습니다.
그 예제가 있는 곳의 이름이 다음과 같습니다.
Find a Basis if One Solution Is Known. Reduction of Order.
(원서인지라 한글 번역은 잘....)
여기서 예제 하나를 가지고 설명을 합니다.
주어진 미분방정식에서 하나의 답을 알고 있을 때 그 해의 basis를 찾는 얘기입니다.
여기서 잘 설명하다가 마지막에 이런 말이 나옵니다.
The quotient y₂/y₁= u = ∫U dx cannot be constant (since U > 0),
so that y₁and y₂form a basis of solutions.
- ERWIN KREYSZIG, <ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS>, WILEY, 2006, pp. 52
basis가 되기 위해서는 linear independent해야 한다는 것만을 아는지라
왜 y₂/y₁가 상수가 아니라면 y₁과 y₂가 basis가 되는지 이해가 되지 않았습니다.
그래서 조교님에게 찾아가서 여쭈어보았고 거기에 대한 답을 얻었습니다.
하지만 방으로 돌아와 살펴보니 무엇인가 이상한 듯싶었습니다.
그렇지만 아이디어를 가져와 저 나름대로 해보았습니다.
마지막에 c₁, c₂은 다음과 같은 이유로 0이 된다고 생각합니다.
명제가 참임을 보이려면 대우인 a나 b 중 0이 아닌 것이 있다면,
모든 a, b에 대해 ax ≠ b인 x가 존재한다는 명제가 참임을 보이겠습니다.
대우명제의 전제가 참이 되려면 a ≠ 0이거나 b ≠ 0이면 됩니다.
i) a ≠ 0, b = 0
그럼 ax ≠ 0이 되는 x는 x ≠ 0이 아닌 것이므로 존재합니다.
ii) a = 0, b ≠ 0
그럼 0x ≠ b가 되는 x는 어떤 값을 넣어도 되기에 존재합니다.
iii) a ≠ 0, b ≠ 0
그럼 ax ≠ b인 x는 x ≠ b/a로 존재합니다.
이렇게 전제가 참이고 결론이 참이므로 대우명제는 참이 됩니다.
따라서 본 명제 역시 참이 되기에 쓸 수 있습니다.
∴ c₁= c₂= 0이므로 y₁, y₂는 linear independent하여 basis가 됩니다.
이렇게 생각을 하였지만, 맞는지 아닌지를 확인하러 질문간다는 것을 깜박했습니다.OTL..
그래서 일단 이렇게 블로그에 글을 적어 기록으로 남깁니다.
후에 시간이 되면 답을 확인해야겠습니다.^^
참조
ERWIN KREYSZIG, <ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS>, WILEY, 2006, pp. 49~52
- 모든 자연수는 소수의 곱으로 유일하게 나타낼 수... (6)2008/07/31
- 새롭게(?) 알게 된 것들. Leibniz의 정리, 미분기... (6)2008/05/25
- Quantifier(∀, ∃) (2)2008/04/01
- y₂/y₁이 constant가 아니면 y₁, y₂가 basis가 되... (4)2008/04/01
- 적분인자(integrating factor)를 구할 때 적분상... (6)2008/03/23
- 진영휴게소에서 남강휴게소까지 거리는? (2)2008/02/08
- 근사(Approximation) (0)2008/02/08
글에 잘못된 점, 다른 점, 부족한 점이 있다면 지적해주세요.
댓글, 트랙백, 메일 모두 고맙습니다.
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간단하게 생각해서 basis는 마치 3차원 공간의 점을 표현하기 위해 필요한 기본적인 단위 벡터 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)로 생각하세요. 이들은 서로 직교, orthogornal하지요.
마찬가지로 퓨리에트랜스폼이나 미방에서도 베이시스라 함은 마치 공간 상의 점을 표현할 때 기본으로 쓰이는 단위벡터와도 같은 존재입니다. 따라서 이 둘의 몫이 상수라함은 이 둘이 평행하다는 소리겠죠? 따라서 서로 인디펜던트한 관계가 아니고 베이이스를 이룰 수 없습니다. 요렇게 생각하면 보다 직관적으로 이해할 수 있을 것 같습니다.
즉 미방의 해들을 공간상의 점으로 대응하고, 베이시스 함수들을 단위벡터로 생각해보세요. 그러면 쉽게 이해가 갈겁니다.
/object/
그렇군요.
직관적으로 한 벡터가 다른 벡터에 scalar배하다면 span이 가능하니 linear independent가 아니군요.
하지만 제가 궁금했던 것은
'왜 상수가 아니면 독립인가?'하는 점이었습니다.
'상수이면 종속이다'는 말은 '상수가 아니면 독립이다.'는 말을 이어주지 못했기 때문입니다.OTL...
상수가 아니면 독립이다. <=> 독립이 아니면, u(x) = y1(x)/y2(x)로 정의되는 함수 u가 상수함수이다.
독립이 아니다. <=> c1 y1 + c2 y2 = 0 for all x 인, 실수(또는 복소수) c1, c2가 존재한다. <=> y1(x)/y2(x) = -c2/c1 for all x => u(x)는 상수함수이다.
/daewonyoon/
상수가 아니면 독립이다.
<=> 독립이 아니면, u(x) = y1(x)/y2(x)로 정의되는 함수 u가 상수함수이다.
<=> y1(x)/y2(x) = -c2/c1 for all x => u(x)는 상수함수이면, u(x) = y1(x)/y2(x)로 정의되는 함수 u가 상수함수이다.
<=> T => T, F => F이므로 대우는 참.
따라서 원명제는 참.
이렇게 되는건가요??
제가 아직 실력이 많이 딸려서... 죄송합니다.ㅜㅜ