행렬의 곱셈(Matrix multiplication)과 기본행렬(Elementary matrix)

By | 2008/08/04

한 학기 복습으로 보고 있는 영상이 있습니다.

MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

별 생각없이 살펴보고 있었는데,

이번에 행렬의 곱과 기본행렬에 대한 이해를 도울 수 있었습니다.

 

두 행렬을 곱할 때 저는 이렇게만 이해하고 있었습니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

즉, AB = C일 때 행렬 C의 원소 c_ij를 구하기 위해서는

A의 i번째 행벡터와 B의 j번째 열벡터의 내적(inner product)로 구하는 방법입니다.

 

하지만 그런 방법만 알고 있었기에 기본행렬(Elementary matrix)를 곱하면

해당 행렬에 기본행연산(elementary row operation)을 한 것과 같은지

이해가 될 듯싶으면서도 그리 명확하지 못했습니다.

단순히 직접 곱을 해보니 그렇게 같음을 확인하였기에 그리 이해하였습니다.

그러나 이번에 해당 강의를 들으면서 그 이유를 이해하였습니다.

 

행렬의 곱이 일차결합(linear combination)으로 표현이 가능하다는 것을 알았습니다.

즉, 행렬 AB = C일 때 C의 행벡터는

해당 자리에 맞는 A의 행벡터의 원소를 계수로 하는 B의 행벡터들의 일차결합입니다.

 

말이 어렵네요.^^;;;

예를 들어 기본행렬을 살펴보겠습니다.

 

위의 식이 EA = U(정확하게는 상삼각행렬이 아니지만…)라면,

기본행렬 E를 곱하면 행렬 A의 첫 번째 행에 2배를 하여

두 번째 행과 더한 값을 두 번째 행에 넣는 기본행연산과 같은 일을 합니다.

그럼 왜 해당 행렬은 그러한 일을 하는지 살펴보겠습니다.

 

E의 첫 번째 행벡터는 첫 번째 원소가 1이고 나머지는 0입니다.

따라서 U의 첫 번째 행벡터는 A의 첫 번째 행벡터에 1을 곱하고

다른 두 행벡터에는 0을 곱한 벡터들의 합이 됩니다.

따라서 A의 첫 번째 행벡터가 그대로 이어지는 것입니다.

 

E의 두 번째 행벡터는 첫 번째 원소가 2이고 두 번째가 1, 세 번째는 0입니다.

따라서 A의 첫 번째 행벡터에 2를 곱하고 두 번째 행벡터에 1을 곱하여 더한 벡터가

U의 두 번째 행벡터가 되는 것입니다.

이는 앞에서 말한 기본행연산과 동일합니다.

 

마지막으로 E의 세 번째 행벡터는 첫 번째 행벡터와 비슷한 일을 합니다.

그렇기에 이는 생략하겠습니다.^^

 

이와 마찬가지로 한 행에 상수배를 하는 것과 두 행을 바꾸는 기본행렬도

마찬가지 방법으로 이해한다면 쉬울 것입니다.

 

그럼 행연산이 아니라 열연산인 경우는 어떻게 하느냐?

마찬가지로 이처럼 일차결합으로 나타낼 수 있음을 알고 있다면 할 수 있을 것입니다.

 

c5

http://matrix.skku.ac.kr/MT-04/chp1/3p.html

선형대수학을 배울 때 행렬 표현 중 3M-notation이라는 것을 배웠습니다.

그것을 배울 때는 잘 이해가 되지 않았으나

이번 기회에 왜 그렇게 표현하였는지 이해할 수 있었습니다.^^

 

 

참조

Lec 1 | 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

Lec 2 | 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

http://matrix.skku.ac.kr/MT-04/chp1/3p.html

이상구, <현대 선형대수학>, 경문사, 2005, pp. 101

Leave a Reply