어떤 원시부족 마을의 규범

By | 2006/03/14

어떤 원시부족 마을에 다음과 같은 사회적 규범이 존재한다.

한 남편이 아내 몰래 불륜을 저지르면 다른 모든 아내들은 이 사실을 즉시 알게 된다.

하지만, 정작 그의 아내는 이 사실을 모른다.

이러한 사실을 알고 있는 아내들은 아무에게도,

심지어는 자신의 남편에게조차도 이를 얘기하지 않는다.

만약 아내가 자기 남편이 자신을 속였다는 사실을 알게 되면,

이날 해가 지기 전까지 그녀는 남편의 이마에 문자 “A”를 문신으로 새긴다.

어느 날, 족장은 마을에 불륜을 저지른 남자가 적어도 한 명은 있다고 발표한다.

(그 수가 얼마인지는 발표하지 않는다.)

실제로 마을에서 불륜을 저지른 남자가 37명이라면 무슨 일이 벌어질까?

[힌트]

족장이 발표했지만, 실제로는 불륜을 저지른 남자가 한 명뿐일 경우에

대해서 먼저 생각해 보아라. 그러고 나서 불륜을 저지른 남자가 두 명일 경우를

생각해 보아라. 이제 귀납법을 사용하여라.

저는 이렇게 풀었습니다.

먼저, 마을에 모든 아내 집합을 U,

불륜을 한 남편을 둔 아내 집합을 A라 합시다.

그리고 마을의 모든 아내 수 즉,

이라 합시다.

힌트에 나온 것처럼

실제 불륜을 저지른 남자가 한 명인 경우를 생각해봅시다.

그럼 이런 표와 벤다이어그램이 만들어집니다.

(벤다이어그램 안의 숫자는 각 집합 원소의 수입니다.)

집합

아내들이 알고 있는 불륜 남편 수

0명

1명

해당 아내 수

1명

n-1명

즉, 불륜을 한 남편의 아내는 자기 남편의 불륜 사실을 모르니

아무도 없다고 알고,

다른 아내들은 한 명으로 알고 있는 상황입니다.

그런데 이 때 족장이 한 명은 있다고 했으니,

아무도 없다고 생각한 이 아내는 남편이 속였다는 것을 알게 되고,

발표날 남편의 이마에 문신 A를 새깁니다.

 

그럼 2명일 때 표와 벤다이어그램은 다음과 같이 만들어집니다.

집합

아내들이 알고 있는 불륜 남편 수

1명

2명

해당 아내 수

2명

n-2명

즉, 자신의 남편의 불륜 사실만 모르고 남의 불륜 사실을 아는

아내가 2명 있는 것입니다.

그리고 나머지 아내들은 2명이 있다는 것을 알게 됩니다.

이 때, 집합

의 아내들은 자신이 어느 집합에 속하는지 알 지 못합니다.

즉, 집합

의 원소인지, 집합

의 원소인지 모릅니다.

왜냐하면 자신이 알고 있는 정보만으로는

마을 상황이

인지

인지 알 수 없기 때문입니다.

하지만 족장이 발표를 하면 알 수 있습니다.

족장의 발표 이후 다음 날 남편들이 아무도 문신을 하지 않는다면

즉, 마을 상황은

이 아니라

이므로

자신은

의 원소라는 걸 알게 되는 것입니다.

그럼 그 날 자신의 남편의 이마에 문자 A를 새깁니다.

 

조금 더 크게 해서 불륜을 한 남편이 5명일 때

해당 남편의 아내는 어떻게 생각할지 따라가보겠습니다.

아내는 불륜을 저지른 남자가 4명으로 알고 있습니다.

그럼 아내는 마을 상황이

인지

인지 모릅니다.

만약  

라면 자신의 남편이 불륜을 한 것이지만,

면 다른 아내들은 3명으로 알고 있습니다.

그렇다면 3명으로 알고 있는 아내들은

인지

인지 모릅니다.

이는 4명으로 알고 있는 아내와 같은 상황이죠.

따라서 3명으로 알고 있는 아내는

2명으로 알고 있는 아내가 있을 것이라 생각할 것이며,

같은 방법으로 2명은 1명이, 1명은 0명이 있을 것이라 생각합니다.

이 때 족장의 발표 다음 날에 문신을 한 사람이 없습니다.

그렇기에 1명이라 아는 아내는

자기 남편이 불륜을 한 것을 알고 문신을 새기겠죠.

발표 2일 째 되는 날에 문신을 한 사람이 없습니다.

그럼 2명이라 생각했던 아내는

자기 남편이 속였다는 것을 알고 문신을 새기겠죠.

하지만 아무도 하지 않습니다.

그렇게 발표 4일 째 되는 날까지 아무도 없다면

4명이라 생각했던 아내는 자기 남편이 속였다는 것을 알고

자기 남편에게 A문신을 새깁니다.

그럼 그 다음날인 발표 5일 째 되는 날에 문신자 5명이 나오고

사건(?)은 해결됩니다.

 

위와 같은 방법이라면

k명이라 할지라도(

)

발표 후 k-1일에 불륜 사실을 알게 되고,

k일에 들어나게 되는 것입니다.

 

따라서 37명이라 하였기에

발표 후 37일 째 되는 날에 37개의 A가 보이게 되는 것입니다.

(A+은 없는가.)

 

참조

9 thoughts on “어떤 원시부족 마을의 규범

  1. NoSyu

    이 글은 말 그대로 풀이과정이고 정리 하지 않았습니다.
    정리 하여 더 깔끔하게 하려고 했으나
    저렇게 적어보는것도 괜찮을 듯 싶습니다.
    (질타를 받기 위해~^^)

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  2. mark

    제 생각인데 어떤 아내가 불륜남이 2명으로 알고 있었는데 족장이 3명이라고 발표했다면 당연히 자기 남편 이마에 A를 쓰게 되지 않을까요?
    즉, 다른 남편들의 불륜 사실은 알고 있지만 자기 남편이 그랬는지는 모르기 때문에 족장 발표만 하면 바로 알수 있을것 같은데..

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  3. NoSyu

    ^^ mark씨의 말씀이 맞습니다.
    이 문제 다음 문제가 이것입니다.

    ‘위의 문제에서 족장이 실제로 불륜을 저지른 남편의 수를 말한다면 무엇이 달라질까?’

    여기에 대한 답이 이렇게 적혀있습니다.

    ‘족장이 불륜을 저지른 남편의 수를 발표한다면, 모든 것이 곧장 밝혀질 것이다.
    족장이 발표한 수보다 더 적은 수의 불륜을 저지른 남편에 대해 알고 있는 모든 아내들은
    곧장 자신들이 속았다는 사실을 알게 될 것이다.’

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  4. mark

    아.. 숫자를 말하지 않는거였군요.. 문제를 잘못 읽었음-_-;
    학교다닐 때도 맨날 문제를 잘못 읽어서 낭패-_-;;

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  5. NoSyu

    저도 많이 그랬습니다.
    지금도 문제 잘 못 읽어 풀다가 중간에 수정하는게 허다합니다.
    그래서 요즘은 문제를 읽을 때 저 나름대로 문제를 새로 적습니다.
    물론 시간이 많은 집에서 풀 경우에만 할 수 있는 일이죠.
    시험 칠 때 그렇게는 못합니다.^^

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  6. ㅇㄹㅇㄹ

    오류 문제네요

    조건이 한개가 빠졋습니다.

    문제대로라면

    아무일도 일어나지 않는다 가 정답

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    1. NoSyu

      반갑습니다.
      정확히 어떤 조건이 빠졌고 왜 그러한지 얘기해주시겠습니까?
      오래전에 적은 것이라 문제가 잘 기억이 나지 않네요.
      그러하기에 설명이 부족하여 잘 이해가 되지 않습니다.

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